[Python] 그리디 알고리즘 1이 될때까지 - Greedy until one

<문제> 1이 될 때까지: 문제 설명

• 어떠한 수 N이 1이 될 때까지 다음의 두 과정 중 하나를 반복적으로 선택하여 수행하려고 합니다. 단 두번째 연산은 N이 K로 나누어 떨어질 때에만 선택할 수 있습니다.
  1. N에서 1을 뺍니다.
  2. N을 K로 나눕니다.
• 예를 들어 N이 17, K가 4라고 가정합시다. 이때 1번의 과정을 한 번 수행하면 N은 16이 됩니다. 이후에 2번의 과정을 두 번 수행하면 N은 1이 됩니다. 결과적으로 이 경우 전체 과정을 실행한 횟수는 3이 됩니다. 이는 N을 1로 만드는 최소 횟수입니다.
• .N과 K가 주어질 때 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 최소 횟수를 구하는 프로그램을 작성하세요.

<문제> 1이 될 때까지: 문제 조건

• 입력 조건 : 첫째 줄에서 N (1 <= N <= 100,000)과 K(2 <= K <= 100,000)가 공백을 기준으로 하여 각각 자연수로 주어집니다.
• 출력 조건 : 첫째 줄에 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 횟수의 최솟값을 출력합니다.
• 입력 예시 : 25 5
• 출력 예시 : 2

<문제> 1이 될 때까지: 문제 해결 아이디어

• 주어진 N에 대하여 최대한 많이 나누기를 수행하면 됩니다.
• N의 값을 줄일 때 2 이상의 수로 나누는 작업이 1을 빼는 작업보다 수를 훨씬 많이 줄일 수 있습니다.
• 예를 들어 N = 25, K = 3일때는 다음과 같습니다.

단계	연산 과정	N의 값
0단계(초기 단계)		N = 25
1단계	N에서 1 빼기	N = 24
2단계	N을 K로 나누기	N = 8
3단계	N에서 1 빼기	N = 7
4단계	N에서 1 빼기	N = 6
5단계	N을 K로 나누기	N = 2
6단계	N에서 1 빼기	N = 1

<문제> 1이 될 때까지: 정당성 분석

• 가능하면 최대한 많이 나누는 작업이 최적의 해를 항상 보장할 수 있을까요?
• N이 아무리 큰 수여도 K로 계속 나눈다면 기하급수적으로 빠르게 줄일 수 있습니다.
• 다시 말해 K가 2 이상이기만 하면 K로 나누는 것이 1을 빼는 것보다 항상 빠르게 N을 줄일 수 있습니다.
  • 또한 N은 항상 1에 도달하게 됩니다. (최적의 해 성립)

내코드

N, K = map(int, input().split())
count = 0

while N != 1:
    if N % K == 0:
        N //= K
        count +=1
    else :
        N -=1
        count +=1

print(count)

답안 예시

# N, K을 공백을 기준으로 구분하여 입력 받기
n, k = map(int, input().split())

result = 0

while True:
    # N이 K로 나누어 떨어지는 수가 될 때까지 빼기
    target = (n // k) * k
    result += (n - target)
    n = target
    # N이 K보다 작을 때 (더 이상 나눌 수 없을 때) 반복문 탈출
    if n < k:
        break
    # k로 나누기
    result += 1
    n //= k

# 마지막으로 남은 수에 대하여 1씩 빼기
result += (n - 1)
print(result)

• target은 n이 k로 나누어 떨어지지 않는 수일 때, 가장 가까운 K로 나누어 떨어지는 수가 뭔지 알 수 있다.
• 1을 몇 번 빼야하는지 다음 result에서 계산하게 된다.
• 10만 이하의 정수이기 때문에 간단하게 코드를 작성할 수도 있다.
• 예시 코드로 작성 시, 로그 시간 복잡도로 나오게 된다.